[ADP 실기준비] 1. 시계열분석

 

1. 시계열분석 간단정리

 

정상 시계열의 조건

- 일정한 평균

- 일정한 분산

- 공분산은 t가 아닌 s에 의존

 

일변량 시계열분석

- 자기회귀모형(AR), 이동평균(MA), Box-Jenkins(ARMA), 지수 평활법, 시계열 분해법 등

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2. 예제: 영국 왕들의 사망시 나이 데이터 예측

https://rpubs.com/ryankelly/ts6

RPubs - TimeSeriesAnalysisExamples

kings<-scan('http://robjhyndman.com/tsdldata/misc/kings.dat', skip=3)
kings<-ts(kings)
plot.ts(kings)

단순이동평균

시계열 데이터를 3년마다 평균을 내어 표현한다.

 

kingsSMA3<-SMA(kings, n=3)
plot.ts(kingsSMA3)

ARIMA 모델 구축 전 차분 진행

ARIMA는 정상시계열에 한해 사용할 수 있다. 위처럼 평균과 분산이 일정하지 않은 비정상시계열은 차분을 통해 정상시계열의 조건을 만족시켜준다.

king.ff1<-diff(kings, differences=1)
plot.ts(king.ff1)

자기상관함수(ACF)와 편자기상관함수(PACF)를 통한 ARIMA 모델 결정

ACF값을 살펴본 결과, lag1인 지점을 제외하고 모두 점선 구간 안에 위치해있다.

acf(king.ff1, lag.max=20)
acf(king.ff1, lag.max=20, plot=FALSE)
##Autocorrelations of series ‘king.ff1’, by lag
##
##     0      1      2      3      4      5      6      7      8      9     10 
## 1.000 -0.360 -0.162 -0.050  0.227 -0.042 -0.181  0.095  0.064 -0.116 -0.071 
##    11     12     13     14     15     16     17     18     19     20 
## 0.206 -0.017 -0.212  0.130  0.114 -0.009 -0.192  0.072  0.113 -0.093

 

PACF값을 살펴보면, lag3까지 점선 구간을 초과하여 절단점은 lag4이다.

pacf(king.ff1, lag.max=20)
pacf(king.ff1, lag.max=20, plot=FALSE)
##Partial autocorrelations of series ‘king.ff1’, by lag
##
##     1      2      3      4      5      6      7      8      9     10     11 
##-0.360 -0.335 -0.321  0.005  0.025 -0.144 -0.022 -0.007 -0.143 -0.167  0.065 
##    12     13     14     15     16     17     18     19     20 
## 0.034 -0.161  0.036  0.066  0.081 -0.005 -0.027 -0.006 -0.037

위 결과를 통해 ARMA의 후보들을 생각해보면, ARMA(3, 0), ARMA(0, 1)를 들 수 있다.

 

auto.arima()를 통한 적절한 ARIMA모형 찾기

영국 왕의 사망 나이 데이터의 적절한 모형은 ARIMA(0, 1, 1)

auto.arima(kings)
##Series: kings 
##ARIMA(0,1,1) 
##
##Coefficients:
##          ma1
##      -0.7218
##s.e.   0.1208
##
##sigma^2 estimated as 236.2:  log likelihood=-170.06
##AIC=344.13   AICc=344.44   BIC=347.56

예측

43~47번째 왕의 나이를 예측한 결과 67.75살로 추정된다.

king.arima<-arima(kings, order=c(0, 1, 1))
king.forecasts<-forecast(king.arima, h=5)
king.forecasts
##   Point Forecast    Lo 80    Hi 80    Lo 95     Hi 95
##43       67.75063 48.29647 87.20479 37.99806  97.50319
##44       67.75063 47.55748 87.94377 36.86788  98.63338
##45       67.75063 46.84460 88.65665 35.77762  99.72363
##46       67.75063 46.15524 89.34601 34.72333 100.77792
##47       67.75063 45.48722 90.01404 33.70168 101.79958

 

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3. 예제: Air Passenger numbers 예측

Kaggle의 Air Passenger에 대한 1949년부터 1961까지의 데이터를 이용했다. 계절성이 있고, 분산이 점점 커지는 것을 확인할 수 있다.

air<-read.csv('AirPassengers.csv')
air.ts<-ts(air[,2], frequency=12)
plot(air.ts, main='Air Passenger numbers from 1949 to 1961')

시계열분해(Time Series Decomposition)

decompose함수를 통해 시계열 자료를 trend, seasonal, random components로 분해할 수 있다. 분해를 진행한 자료에 $random을 붙이면 random components만 따로 뽑아낼 수 있다.

decomposeAP<-decompose(air.ts, 'multiplicative')
autoplot(decomposeAP)

시계열의 정상성 검정

시계열의 정상성을 검정하기 위해서는 ADF test를 이용하는 방법, 영국왕 사망나이 예측에서 처럼 자기상관성(Autocorrelation)을 통해 검정하는 방법이 있다.

adf.test(air.ts)
##        Augmented Dickey-Fuller Test
##
##data:  air.ts
##Dickey-Fuller = -7.3186, Lag order = 5, p-value = 0.01
##alternative hypothesis: stationary

먼저 ADF test를 시행해본 결과, p-value가 0.01로 시계열 데이터가 비정상성이라는 귀무가설을 기각하게 된다. 하지만 ADF test만으로는 계절성을 파악할 수 없으므로 adf와 pacf를 추가로 살펴본다.

ggtsdisplay(air.ts)

auto.arima를 통한 ARIMA 모형 구축

auto.arima(air.ts)
##Series: air.ts 
##ARIMA(2,1,1)(0,1,0)[12] 
##
##Coefficients:
##         ar1     ar2      ma1
##      0.5960  0.2143  -0.9819
##s.e.  0.0888  0.0880   0.0292
##
##sigma^2 estimated as 132.3:  log likelihood=-504.92
##AIC=1017.85   AICc=1018.17   BIC=1029.35

12주기의 계절성과 1차 차분이 포함된 arima모델이 구축되었다.

forecastAP<-forecast(auto.arima(air.ts), level=c(95), h=36)
autoplot(forecastAP)

모델 평가

checkresiduals함수를 통해 시계열 모형의 잔차로 모델 평가를 할 수 있다. 시계열 모형의 경우 Ljung-Box 검정 결과를 볼 수 있는데, acf 그림에서는 약간 튀는 값들이 보이지만 p-value가 0.01인 것으로 보아 크게 문제가 되는 수준은 아닌 것으로 보인다

checkresiduals(auto.arima(air.ts))
##        Ljung-Box test
##
##data:  Residuals from ARIMA(2,1,1)(0,1,0)[12]
##Q* = 37.784, df = 21, p-value = 0.01366
##
##Model df: 3.   Total lags used: 24

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